在美国第一次听初中数学课纪实

1)
离表姐家很近，尽管在不同的州，但是距离不到两个小时的车程，所以周末或者节假日偶尔也去表姐家玩。上个周末礼拜六，我就陪着我那差不多 12岁的侄儿听了一堂初中数学课。这个侄儿还是以前在北京出生的，三岁就随父母来到了新泽西，所以汉语讲得一点都不好。美国的公立中小学建筑我自然见了很多，通常每个学校只有一栋建筑，而且一般不超过两层。小学 (Elementary School) 一般规模较小，通常只有几百人，初中 (Middle School) 较大一些，高中 (High School) 更大，一般的高中注册学生大约在一千到两千多人，有的人口稠密的地区，据说一所高中可以有五千学生 (例如在芝加哥)。大家可以想像，两千学生全部集中在一栋建筑里，那栋建筑肯定是很大的，不熟悉的人进去后有时会觉得置身于城堡之中，摸不清方向。

中小学虽然见得多，但是若论在中小学听课，我这真还是破天荒第一次。其实别说听课，之前我可连中小学的大门 (指教学楼的大门，不是指校门，因为一般没有校门与围墙) 都没有迈进过。这堂课是数学课，大约两个小时。出于好奇，我征得那位教师的允许后，也兴致勃勃地和十来个孩子一起坐在教室里，听完了这堂几何课。下面我就将这堂课实录下来，供有兴趣的朋友参考。当然啦，如果这里谁谁确实进几次中小学的课堂，自然不足为奇，最多有些大同小异
罢了。

可能先得交代几句，这堂课的学生虽然都只是初一年级 (六年级)，但是却是高中课程。事实上那位教师，科林斯女士 (也是位博士，只是不知是教育学博士还是数学博士，我也不好意思去问)，是高中教师而不是初中教师。也就是说，能上这堂课的学生都是学校的“尖子生”，因此这堂课可能并没有什么代表意义，和通常的课堂可能有比较大的差别。但是我只听过一堂课，所知也只有这些。

美国的中小学义务教育一共是十二年，有的地方六年级算小学，有的算初中 (像我这侄儿，虽然是六年级，但是算初中)；有的地方高中有四年，有的只有三年，不同的州、不同的县、甚至不同的城镇规定都不一样，但是加起来都必须是十二年，因此高中毕业生通常都是十八岁，和咱们差不多。美国的学校没有什么统编教材。其实别说什么全国统编教材，即使在同一学校，不同的老师教材也不一样，有的甚至压根儿就没有教材 (特别是小学)。而且，通常情况下即使有教材，那教材也是由学校发的。

美国的学校由于人种和文化背景等原因，学生水平相差很大。其实你如果看看咱们大陆的学生，人种和文化其实很单一的，但是学生所学相差也不小，对不对？美国学生的差距就更大了。通常美国学生按照人种分为亚裔、高加索血统白人 (也就是“传统”的欧洲血统人，例如盎格鲁-撒克逊、斯拉夫、日尔曼人等)、西班牙血统人、黑人等，其中亚裔和高加索血统白人的智商明显高于黑人和西班牙血统人。因为公立学校的教育必须立足于中下游学生，所以有些比较聪明的、学有余力的学生就会觉得学校的课程过于简单，所以基本上每个学区、每个学校都开设有各俱特色的“天才学生培养计划”(Gifted/Talented Programs)。除了丰富多彩的课外活动外(这些课外活动通常包括体育、艺术、音乐、探险、数学、科学等兴趣小组和俱乐部)，这些比较聪明的孩子所开设的课程也比普通学生的更难。比如就数学而言，他们通常初中就学高中的内容，高中学大学的内容。

美国的中学所开设的课程，如果将杂七杂八的课程都算的话，估计有不少，但是最主要的课程，还是和我们差不多：数学、阅读 (Reading)、英语/作文、科学 (Science，以物理为主)、社会科学 (Social Science，可能以历史和文化为主) 和生物 (Biology)，其中最重要的是数学和阅读。我这侄儿的数学、阅读和科学都在“天才班” (其实这没有什么，中国人的孩子一般都不蠢的，何况他父母都是早年北大毕业生)。一般情况下，我觉得美国孩子的阅读、写作学得不算差，生物和科学(以物理为主) 也算学得马马虎虎，勉强可以接受，唯一的例外就是数学，学得非常差。

2)
去学校之前，我拿了侄儿所在的天才教育班数学教学规划。教学规划上面是这样写的：

六年级：代数 I (Algebra I)
七年级：几何，代数 II (Geometry, Algebra II)
八年级：代数 II，矩阵，统计 (Algebra II，Matrices，Statistics)
-----------------------------------------
九年级：微积分预备课 I，微积分预备课 II (Pre-calculus I，II)
十年级：微积分 I，微积分 II (Calculus I，II)
十一年级：微积分 III (Calculus III)，概率统计 (Probability & Statistics)
十二年级：常微分方程 (Differential Equations)，线性代数 (Linear Algebra)

侄儿所在的这个学区，6--8 年级算初中，9--12年级算高中。大家看到，对普通的美国学生而言，上面所列的 6--9 年级的课程其实是高中课程，10--12 年级的课程其实是大学课程。学生们在高中学些大学课程其实好处大大的，首先，在高中学这些课程，特别是声望比较好的高中通过这些课程的考核后，其成绩大学是承认的，所以这不但节省了时间，而且还节省了钱，因为高中教学是免费的，而大学是要收学费的，特别地，这些孩子很多都会被名牌大学录取，考虑到名牌大学的不俗学费，所以节省的钱其实不少；其次，学生如果能在高中通过这些考试，这也间接地证明了其能力，所以这也给他们申请名牌大学提供筹码。

我问侄儿，代数 I 主要包括些什么。侄儿说，主要是多项式、分解因式、一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程等。我又问，按照课程规划，你们不是要到七年级才学几何吗？为什么现在学几何，而且在周末？表姐给我解释道，因为侄儿念小学时那所小学开设的几何过于简单，只会算一些周长和面积，几何预备知识不足，所以学校安排给几何有所缺陷的孩子周末补课，因此这不算正式的几何课。真正的几何要下学期开设。

我开车送侄儿去高中。诺大的停车场几乎是满的，原来许多高中学生周末自己开车来学校搞体育比赛 (美国 16 岁即可拿驾照开车)，有的家长也来凑热闹，帮自己的孩子助威。这所高中是州内很好的一所，一千多学生，一栋两层的教学楼，深红色的砖外表，显得结实而又古色古香。转到一个僻静处才找到一个停车位置，随侄儿走进教学楼主门。原以为主门处有值班员守候着，不料里面居然没有，空荡荡的，那份安静和清凉，不经意之间给人带来一丝寒意。进门后拐了几个弯，到了指定的教室。走进教室一看，数学教师科林斯女士已经在那里准备着投影仪，还有一个白人小姑娘，脸颊晒得黑黑的，显然是学生之一，在帮助老师整理课桌。教室里大约有二十来张座位，显得有些零乱。小姑娘见我这样一个陌生人来到，似乎略有不适，害羞地说了句嗨，然后继续低头整理课桌。我给科林斯老师打了个招呼，说我从来没有听过美国中学生的课，您是否介意我听一堂课。科林斯老师笑道，当然不介意，荣幸之至，You are absolutely welcome，然后又问你是不是懂数学 (Do you understand math?)。我不料科林斯老师会来如此一问，一怔之下我只得说，我的专业是理工科......科林斯老师哈哈笑道，原来如此，那你肯定懂了，希望我刚才的问题没有冒犯你......

我和侄儿协助那位小女孩三下五除二将课桌摆得整整齐齐。不一会儿，上课开始了，学生也都到齐了。我数了数，包括侄儿在内，一共是十个学生，五个男孩，五个女孩；四个学生看起来像中国人 (其中两个女孩)。我在最后一排捡了个座位坐下，同时为了表示对老师的尊敬，我装模做样地拿出个笔记本做笔记。其实我从小就是个喜欢交头接耳的人，哪里学会了作笔记......很多时间里其实我在考虑着给屈原前辈写首七绝，力求心能二用。老师在台上讲她的，我在下面写诗，花一个小时写首七绝打油，总没有问题吧？

教材很厚，精装的，很重。美国的教科书就这样，又简单又罗嗦，像八股文填鸭似的手把手教读者，那种谨小慎微，那种苦口婆心，倒似乎生怕读者不会一个萝卜一个坑会走错脚步从而坠入万丈深渊似的，我一直不喜欢这种罗嗦的风格，尽管我说话罗嗦。我喜欢简洁简明的教材，例如俄罗斯人编写的，短短几页能囊括很多内容。

今天补习的内容是第五章三角形，一开始就尝试用三角形全等 (Congruent Triangles) 去证明等腰三角形的两个底角相等 (Congruent)，以及其逆定理 (Converse Theorem)。看来上次课他们已经讲述了三角形全等的判定，学生们对几个判定方法都能对答入流，大家对证明这个定理似乎都没有什么困难 (本来很简单，是不是)，但是科林斯老师还是要求每个学生很严格、很详细地写出推导步骤，说几何的精髓和美就在于其逻辑的严谨。他们的表述和我们以前的不一样，我们以前的平面几何证明，通常都是
因为...所以...
的格式，对不对？他们则列成两栏，写成如下的格式：

Statement (论断) | Reason (理由)
----------------------------|------------------------------
|

证完后科林斯老师又要求大家用笛卡儿标架 (平面解析几何) 去证明结论。证完后科林斯老师又要求大家将这个命题的逆命题 (Converse)，反命题 (Inverse) 以及逆反命题 (Contrapositive)，并且引述了很简单的形式逻辑。总之，就我看来，课程的内容很简单，但是科林斯老师牵涉得很杂，而且她似乎在刻意传授某种系统而严谨的思维 (注：这个天才教育计划的主要目的就是培养学生的自学能力)。如此这般大约过去了半个小时。

随后科林斯老师用投影仪展示了大约和上面这个图差不多的图形，其中 M、N 是所在边的中点，然后要求大家直观猜测所有可能的结论。大家七嘴八舌，三个臭皮匠顶个诸葛亮似的，自然很快地猜到了 MN // BC，MN = BC * 1/2。当然，大家都知道，这就是很简单的中位线定理。不过呢，有位看起来像中国人的小女孩也猜了个不对的结论，那就是三角形 AMN 的面积是三角形 ABC 的面积的一半。科林斯老师先感谢这个学生的猜测，问她怎么会猜到这个结论。小姑娘说，因为 MN 只有 BC 的一半，所以对应的三角形的面积也应该只有一半。老师又问，从图上看，你觉得小三角形的面积有大三角形的面积一半吗？小姑娘说，看起来是没有，大约只有三分之一，但是因为长度刚好一半，所以我觉得面积也应该有一半。我在后面看了，暗笑不已。天，要说服这个小姑娘可不容易呢，尽管她也承认面积看起来没有一半，但是她很依赖自己的理性 (尽管这种理性导致的猜测是错的)，几乎到了宁信度无自信也的地步，且看科林斯老师如何说服她。

大家知道小三角形的面积只有大三角形面积的四分之一。要证明这点非常简单，科林斯老师假设 L 是 BC 的中点，连接 LM，LN，这样四个小三角形全等，所以AMN 的面积只有 ABC 的四分之一。小姑娘显然被说服了，但是科林斯老师并未“罢休”，她先要小姑娘口算 1/2 * 1/2 是多少。小姑娘似乎有些迷惑，因为这是小学二年级的算术，对不对，但还是遵照吩咐说了 1/4。老师然后要这个小姑娘继续说出三角形的面积公式，小姑娘回答说是底线乘高然后除以 2。科林斯老师笑道，现在好了，小三角形的底线长度是大三角形的几分之几？小姑娘答曰二分之一。那么高呢？小姑娘答曰二分之一。那么， 1/2 * 1/2 是多少？小姑娘羞涩一笑，道，1/4。

随后科林斯老师又像以前那样要大家给出这个命题的逆命题、反命题、逆反命题并且从形式逻辑出发判断真伪，然后用解析几何证明了中位线定理。

休息几分钟后，继续上课。科林斯老师先讲述了什么是中线、垂线、角平分线和垂直平分线，然后每个人发个作图的工具，要求大家严格作图，分别将三角行的三条中线、垂线、角平分线和垂直平分线画好，看能得出什么结论。当然，大家知道，这三条中线、垂线、角平分线和垂直平分线各自相交于一点，分别称为重心、垂心、内心(切圆圆心)，以及外(接圆圆)心。大家花了半个小时作图，基本上同意了这四种不同的线各自会相交于一点。随后，因为时间关系，科林斯老师拿角平分线讲述了一下，然后就布置作业，下课了。

我一看布置的作业，哇，算小题的话，怕莫有四五十个！尽管是一周的作业，但是也算很多了吧？当然，我随便看了两个，很简单，只是这十个学生尽管是“天才班”的学生，但是几何基础却不怎么样，四、五十个小题下来，也够他们忙碌的了，何况这是他们的“额外负担” (因为这不算正式的几何课，而是补课)，须不知很多学校基本上就没有家庭作业呢！